\chapter{维格纳相空间准概率分布函数 (1932)}
\author{尤金·维格纳}
\date{1932年}

	\section{引言}
	在1932年的开创性工作中，尤金·维格纳(Eugene Wigner)提出了量子相空间中的准概率分布函数，现称为\textbf{维格纳函数}。这一分布允许在相空间中以类似经典统计力学的方式描述量子系统。
	
	\section{定义}
	对于一维量子系统，维格纳函数$W(x,p)$定义为：
	
	\begin{equation}
		W(x,p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x+y)\psi(x-y) e^{2ipy/\hbar} dy
	\end{equation}
	
	其中：
	\begin{itemize}
		\item $x$和$p$分别为位置和动量变量
		\item $\psi(x)$是系统的波函数
		\item $\hbar$是约化普朗克常数
	\end{itemize}
	
	\section{推导关键步骤}
	维格纳通过以下步骤导出该分布：
	
	1. \textbf{经典相空间类比}：
	经典统计力学中，相空间分布$\rho(x,p)$描述系统状态。维格纳寻求量子类比。
	
	2. \textbf{边缘分布要求}：
	满足量子概率密度的边缘分布：
	\begin{align}
		\int W(x,p) dp &= |\psi(x)|^2 \\
		\int W(x,p) dx &= |\phi(p)|^2
	\end{align}
	其中$\phi(p)$是动量空间波函数。
	
	3. \textbf{傅里叶变换构造}：
	为保证上述性质，维格纳采用对称化的坐标空间表示：
	\begin{equation}
		W(x,p) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int \psi^*\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi\left(x-\frac{y}{2}\right) e^{-ipy/\hbar} dy
	\end{equation}
	
	4. \textbf{算符对应}：
	该分布实现了量子算符到经典相空间函数的映射（Weyl-Wigner对应）：
	\begin{equation}
		A(x,p) \leftrightarrow \hat{A}(\hat{x},\hat{p})
	\end{equation}
	
	\section{性质}
	维格纳分布具有以下重要特性：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{实值性}：$W(x,p) \in \mathbb{R}$
		\item \textbf{归一性}：$\iint W(x,p) dxdp = 1$
		\item \textbf{非正定性}：可能出现$W(x,p)<0$（量子相干性的标志）
		\item \textbf{重叠公式}：量子态重叠可表示为：
		\begin{equation}
			|\langle \psi|\phi \rangle|^2 = 2\pi\hbar \iint W_\psi(x,p) W_\phi(x,p) dxdp
		\end{equation}
	\end{itemize}
	
	\section{意义}
	维格纳函数的提出：
	\begin{itemize}
		\item 建立了量子力学在相空间中的严格表述
		\item 为量子经典对应提供了数学基础
		\item 成为量子光学、量子输运等领域的重要工具
		\item 启发了后续的Husimi-Q函数等相空间分布的发展
	\end{itemize}
	